Si può considerare una carica puntiforme q posta al centro di una superficie chiusa di forma sferica e calcolare il flusso del campo elettrico E da essa prodotto attraverso tale superficie. Se si indica con r il raggio della sfera, il campo elettrico prodotto, in ogni punto della superficie, è:

 Il versore normale ad una sfera coincide con il versore lungo la direzione radiale, perciò l'angolo q formato dal vettore E ed il medesimo versore u_r è nullo, e cosq=0. Sapendo che l'intensità del vettore campo elettrico è costante lungo tutta la superficie sferica di area 4pr², si può affermare che:

cioè il flusso elettrico attraverso una superficie sferica è proporzionale alla carica, ma indipendente dal raggio della sfera.

Stesse conclusioni si traggono se si generalizza al caso di una superficie chiusa irregolare.

Se una carica q è posta esternamente ad una superficie chiusa, essa produce flusso elettrico nullo, perché il flusso entrante (indicato con un segno negativo) è uguale in valore assoluto a quello uscente (indicato con un segno positivo).

Se vi sono n cariche poste all'interno di una superficie chiusa il flusso totale attraverso la superficie è:

dove u_N è il versore normale alla superficie chiusa e q è la somma delle n cariche interne alla superficie.

Avendo dimostrato che la legge di Gauss può essere applicata ad una superficie chiusa di forma qualsiasi, si può considerare ora una superficie infinitesima di forma cubica avente per spigoli i segmenti elementari dx, dy e dz, paralleli agli assi X, Y e Z.

L'area della superficie ABCD è dydz ed il flusso elettrico attraverso essa è

essendo E_x = Ecosq. Il flusso attraverso la faccia A'B'C'D' ha una forma simile ma è negativo perché entrante, cioè -E'_xdydz.

Il flusso totale attraverso le due superfici è dato dalla somma:

Essendo la distanza AA' = dx fra le due superfici molto piccola risulta quindi molto ridotta anche la quantità E_x-E'_x, e si può scrivere

dove ¶ E_x/¶ x è la rapidità di cambiamento della componente x di E lungo l'asse X. Perciò il flusso totale nella direzione X è:

dove la quantità dV = dxdydz è il volume del cubo infinitesimo.

Poiché si ottengono risultati simili si ottengono per il flusso attraverso le rimanenti quattro facce del cubo, il flusso totale attraverso l'elemento di volume è:

Se dq è la carica elettrica entro l'elemento cubico, la legge di Gauss afferma:

Ponendo dq = rdV, essendo r la densità di carica elettrica e semplificando il dV comune si ottiene:

cioè:

Questa è la legge di Gauss in forma differenziale; l'espressione al primo membro è detta divergenza e quindi si può scrivere che:

Essa esprime la relazione locale, cioè che esiste in uno stesso punto dello spazio, fra campo elettrico E e densità di carica r. Si può concludere che le cariche elettriche sono le sorgenti del campo elettrico e che distribuzione ed intensità determinano il campo elettrico in ogni punto dello spazio.