Si definisce vettore quell'ente matematico che nello spazio ordinario è caratterizzato da un numero reale, detto modulo, una direzione ed un verso o senso.

I vettori vengono utilizzati per la rappresentazione di grandezze fisiche, dette appunto vettoriali perché caratterizzate dai tre elementi sopracitati; sono esempi di grandezze vettoriali la forza, la velocità, l'accelerazione.

I vettori vengono rappresentati graficamente (fig. 2) attraverso segmenti orientati, la cui lunghezza risulta proporzionale al valore della grandezza (secondo una determinata scala); la direzione è la retta su cui giace il segmento ed il verso è indicato dalla freccia terminale.

Considerando uno spazio R³ un vettore può essere determinato conoscendone modulo, direzione e verso, oppure essendo note le sue componenti (proiezioni) lungo tre assi distinti e non complanari (ad esempio i tre assi cartesiani mutuamente ortogonali).

Se si considerano i vettori in uno spazio R², cioè su un piano, è possibile definirli completamente conoscendone il loro modulo e l'angolo che esso forma con una data retta, oppure essendo note le loro componenti lungo due rette non coincidenti appartenenti al piano .

I vettori si distinguono in:

• liberi, o vettori propriamente detti, individuati da tre elementi nello spazio e da due sul piano;
• applicati, cioè quei vettori di cui si deve considerare anche il punto di applicazione; essi vengono individuati da sei elementi nello spazio (tre per il vettore e tre coordinate del punto di applicazione) e da quattro sul piano (due per il vettore e due coordinate del punto di applicazione).

Un vettore di lunghezza unitaria, cioè un vettore il cui modulo è assunto come unità di misura dei moduli dei vettori con esso omogenei (cioè rappresentanti grandezze vettoriali aventi le stesse dimensioni fisiche) è detto versore. Esso è individuato nello spazio dai due angoli formati con due direzioni di riferimento (non coincidenti) e nel piano dall'angolo formato con una retta di riferimento. Il rapporto tra un vettore qualsiasi col proprio modulo individua sempre un versore.

Si definisce cursore un vettore applicato ad una retta ad esso parallela, cioè libero di scorrere lungo tale retta e di assumere qualsiasi punto come punto di applicazione. Un cursore è individuato da cinque elementi nello spazio (due angoli per determinarne la direzione, due coordinate della sua traccia in un piano qualsiasi ad essa trasversale, per individuare quella retta tra tutte quelle ad essa parallele, ed uno per determinarne il modulo) e tre nel piano (uno per la direzione, uno per la coordinata della sua intersezione con una retta ad essa complanare e trasversale, che la individui tra tutte quelle ad essa parallele, ed uno per il modulo.

Si definisce campo vettoriale una regione dello spazio, ad ogni punto della quale può essere associato un vettore; campo vettoriale è anche l'insieme di tali vettori.

I campi, in ogni punto dei quali i vettori sono uguali, si dicono campi uniformi; quelli in cui i vettori (pur diversi) si mantengono inalterati nel tempo si dicono campi stazionari.

Esempi di campi vettoriali sono il campo gravitazionale, il campo elettrico ed il campo magnetico.

L'insieme delle operazioni che possono essere eseguite con i vettori costituisce il calcolo vettoriale.

2.1 Somma di vettori

Per comodità è possibile definire con origine l'estremo del vettore non munito di freccia e con estremo superiore quello che reca la freccia. Occorre notare che l'origine non è il punto di applicazione perché si parla ora di vettori liberi.

Per sommare due vettori è sufficiente far coincidere l'origine di uno con l'estremo superiore dell'altro: la somma è data dal vetture che ha origine coincidente con l'origine rimasta libera ed estremo superiore coincidente con quello rimasto libero (fig. 3).

Se la somma riguarda più di due vettori, la regola non cambia ricordando la validità delle proprietà commutativa e associativa della somma (fig. 4).

Come tutte le differenze è definita come somma di minuendo con l'opposto del sottraendo (in pratica: a-b=a+(-b)). Il vettore differenza è ottenibile facendo coincidere i due estremi superiori dei vettori di cui si vuole la differenza ed è rappresentato da quel vettore che ha origine coincidente con l'origine del minuendo (fig. 5).

Il prodotto di un numero reale m per un vettore v individua un nuovo vettore che ha per modulo il prodotto del modulo di v per il valore assoluto di m e per direzione la stessa di v. Il verso è conforme a quello di v se m è positivo, è opposto a quello di v se m è negativo.

Il quoziente di un vettore v per uno scalare m è il prodotto, definito come sopra, tra il vettore v ed il reciproco dello scalare m.

Particolare è il caso del rapporto fra un vettore non nullo ed il suo modulo: esso individua sempre il versore caratteristico della direzione e del verso del vettore dato.

Il prodotto scalare di due vettori, indicato con v₁ × v₂ è il prodotto dei moduli dei due vettori moltiplicato per il coseno dell'angolo da essi formato.

Geometricamente il prodotto scalare di due vettori è il prodotto dal modulo del primo moltiplicato per il modulo della proiezione del secondo sul primo (fig. 6).

Poiché un vettore può essere individuato anche dalle sue componenti secondo tre assi x, y e z, il prodotto scalare dei due vettori a e b è dato dalla somma dei prodotti delle rispettive componenti (a×b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z).

Si definisce prodotto vettoriale di due vettori a e b, non nulli né paralleli, indicato con , il vettore (fig. 7) che ha per direzione la perpendicolare al piano individuato da a e b, per modulo il prodotto dei moduli a e b moltiplicato per il seno dell'angolo formato da a e b e verso definito dalla regola del cavatappi.

Si definisce prodotto misto di tre vettori a, b e c lo scalare . L'operazione di prodotto vettoriale deve precedere quella di prodotto scalare, perché, mentre il risultato della prima è ancora un vettore che può subire la seconda, il risultato della seconda è uno scalare che non avrebbe senso moltiplicare vettorialmente. Si può dimostrare che

.

Se a è un vettore ed u è il versore di una retta r orientata, il prodotto scalare a × u = acosa viene definito componente del vettore a secondo la retta r; essa misura la proiezione ortogonale di a sulla retta, presa col segno positivo se a è acuto, col segno negativo se a è ottuso. Generalmente si indica col termine di "la componente" il valore scalare e con "il componente" il vettore dato dal prodotto della prima per il versore u. In altre parole il componente è il vettore proiezione di un vettore su una data retta, la componente è il modulo del componente.

Il coseno di due rette orientate, le cui direzioni sono individuate dai versori u e v, può essere rappresentato mediante il prodotto scalare tra tali due versori; se questo vale 0 le due rette sono perpendicolari, se vale ±1 le rette sono parallele.

Viene definito doppio prodotto vettoriale il vettore . Le parentesi sono indispensabili perché il doppio prodotto vettoriale non gode della proprietà associativa per cui è possibile affermare che . Non esiste il doppio prodotto scalare perché il risultato della prima operazione, che è uno scalare, non potrebbe subire la seconda.

Come tutte le grandezze, anche quelle vettoriali possono essere costanti o variabili, cioè suscettibili di assumere diversi valori in un certo insieme; se sono variabili possono essere indipendenti, se i valori che assumono non dipendono da altre variabili, o dipendenti dai valori assunti dalle altre variabili; in quest'ultimo caso le variabili dipendenti si dicono funzioni. In particolare un vettore può essere una funzione di una variabile scalare, quindi se ad un valore s₁ dello scalare corrisponde un valore V₁ del vettore, e se ad un valore s₂ dello scalare corrisponde un valore V₂ del vettore, allora è possibile affermare che alla differenza Ds=s₂-s₁ corrisponde alla differenza DV=V₂-V₁. Vi sono allora tutti gli elementi necessari per stabilire il concetto di derivata vettoriale: è possibile infatti costruire il rapporto incrementale DV/Ds della funzione V(s) e calcolarne il limite per Ds tendente a 0. Se tale limite esiste ed è finito, viene detto derivata vettoriale di V rispetto ad s:

La derivata vettoriale dV/ds, come il vettore V è funzione di s ed è anch'essa un vettore, essendo definita come rapporto fra un vettore ed uno scalare.

Un vettore può essere funzione di più variabili, ad esempio x, y, z: in simboli V=V(x,y,z). In tal caso le derivate parziali di V rispetto alle tre variabili ¶ V/¶ x, ¶ V/¶ y, ¶ V/¶ z, rappresentano in genere tre nuovi vettori, funzioni tutti e tre, come V, di x, y e z. La derivata vettoriale gode di tutte le proprietà delle ordinarie operazioni di derivazione.

I concetti di derivata vettoriale e di derivata parziale vettoriale, possono essere utilizzati per definire vari operatori differenziali vettoriali.

Un operatore differenziale che trasforma uno scalare in un vettore è il gradiente. Se f(x,y,z) è una funzione scalare di tre coordinate cartesiane, si definisce gradiente di f il vettore che ha per componenti cartesiane le derivate parziali di f secondo le rispettive coordinate. Chiamati i, j e k i versori fondamentali della terna cartesiana di riferimento, quelli cioè che individuano le direzioni degli assi cartesiani, risulta:

Se V=gradf, f=potV, ossia se V è il gradiente di f, f è il potenziale di V. Infatti, il potenziale è stato definito come quella funzione scalare determinabile in ogni punto di particolari campo vettoriali, In ogni punto dei quali il vettore V del campo è tale che, sue componenti:

La divergenza è un operatore vettoriale che trasforma un vettore in uno scalare. Precisamente se V_x, V_y, V_z sono le componenti del vettore V (secondo gli assi x, y, z), allora:

ossia la divergenza di un vettore è la somma delle derivate parziali delle sue componenti secondo le rispettive coordinate.

Il rotore è un'operazione vettoriale che trasforma un vettore in un altro vettore. Un vettore che ammette un rotore prende il nome di potenziale vettore del suo rotore: se V=rotW, W è il potenziale vettore di V.

Dato un campo vettoriale A si chiama rotore di A il campo vettoriale le cui componenti lungo gli assi x, y, z sono rispettivamente:

Esso si può anche indicare e calcolare nel modo seguente:

La divergenza del gradiente di uno scalare è un altro scalare (differente da quello di partenza); tale operatore prende il nome di operatore di Laplace, indicato con:

dove ¶ ²f/¶ x² è la derivata parziale seconda di f rispetto alla x.

Si definisce circuitazione di un vettore A lungo una linea chiusa l l'integrale circolare:

dove dl è il generico vettore elementare di modulo dl, tangente alla linea l.

Esistono campi vettoriali particolari che hanno una grande importanza fisica; di essi ricordiamo:

• il campo conservativo: che ha la caratteristica di presentare circuitazione nulla su qualunque linea chiusa, rotore nullo e potenziale calcolabile; essi sono detti anche lamellari, irrotazionali e potenziali;
• il campo solenoidale: che ha la caratteristica di presentare divergenza nulla e potenziale vettore calcolabile;
• il campo armonico: che ha la caratteristica di essere contemporaneamente conservativo e solenoidale; esso soddisfa l'equazione di Laplace.